Question

小学奥数题，很简单，可是不会

已知两个连续的三位数除以5的余数之和为7，除以6的余数之和也为7，除以7的余数之和为9，那么这两个三位数最大分别是多少。
将1,2,3,4······连续写下去：123456789101112······知道排成一个2006位的自然数为止，那么这个自然数除以99的余数是多少？
求恰有18个约数的最小自然数。

Answer 1

第1题：余数问题(中国余数定理)
两个连续的3位数，设为：x,x+1,则x对5,6,7的余数分别为(7-1)/2,(7-1）/2，（9-1）/2即3,3,4
5*6*7=210，126=(6*7)*3 mod 5=1 ，175=（5*7 ）*5 mod 6=1 ,120=(5*6)*4 mod 7=1
x=126*3+175*3+120*4-(5*6*7)*n=1383 -210n
容易解得：n=4时 得到最小的三位数x=123
n=2时 得到最大的三位数x=963
所求的连个连续三位数是:963、964
第2题：设余数为x(x<=99)，则该数=99*K+x=100K-99+x,该数的末两位数=100-(99-x)=x+1
又设书写至最后一个自然数为n，
（分析：当n=1000时 位数为：3*900+2*90+9=2889>2006
当n=99时 位数为：2*90+9=189<2006 故n为3位数）
9+90*2+3*(n-100+1)=2006
n=704.67 既写至704时为204位，故该数最后两位数为70(705未写完)
x+1=70
余数 x=69

Answer 2

除5两连续整数的余数之和为7，则分别为(7-1)/2=3,和(7+1)/2=4，除6同时，可知该数字为5*6的整数倍分别余3和4。除7的余数之和为9，则两数分别余4和5。

现在将这个两个连续整数加上90，除5仍是余3与4，除6除3与4，除7余数为(90+4)/7余3和4。

所以5*6*7*k+3-90就是这个数字。5*6*7*k+3-90<1000
k<1087/5*6*7=1087/210
k最大应该为5
所以963,964就是这两个数字。

追问

只有一题吗

追答

当排完一位数字时可以得到一个9位数。
当排完两位数字时可以得到一个2*(100-10)=180位数。
当排完三位数字时可能得到一个3*(1000-100)=2700位数。
所以9+180+3*k<=2006
k<=(2006-9-180)/3
k<=1817/3
k<=605.66666
也就是说，这个数字排到605，已经排了2004位，所以排到606时，只排到了60.
这个数字就是1234567891011........99100101102.......60460560

追问

问的是除以99余几！

追答

我知道，但我还没有答就发现我抄袭别人了，让别人MS我吗？也不看一下回答时间！

追问

好吧，对你表示沉痛的抱歉，以后不了，行吗？可是你能帮我做出这些题吗？这是我最后一次追问了，抱歉，我也许只能这么说了，请原谅···

追答

余数是71，有18个最小约数的值是180

追问

我还要再加10分问你，这是怎么做的呢？可以告诉我过程吗？谢谢

Answer 3

除5两个续整数的余数之和为7，则分别为(7-1)/2=3,和(7+1)/2=4，除6同时，可知该数字为5*6的整数倍分别余3与4。除7的余数的和为9，则两数分别余4与5。

将这个两个连续整数加上90，除5仍是余3与4，除6余3与4，除7余数为(90+4)/7余3和4。

所以5*6*7*k+3-90就是这个数字。5*6*7*k+3-90<1000
k<1087/5*6*7=1087/210
k最大为5
所以963,964就是这两个数字

追问

只有一题吗？

追答

后面的还没做好

追问

好的，谢谢了！似乎有人抄袭你的——kusirp21

追答

藐视他们 求恰有18个约数的最小自然数 180

追问

怎么算的，你好厉害啊，我没法再次追问了，想要过程。第二题最好把99分解成9和11来算。这里还有一道题，如果你全做出来了，我就再给你10分，行吗？
三个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以7的余数之和是9，除以9的余数之和是15，则这三个数除以11的余数之和是多少？

万分感谢！

追答

余数是0.41的循环，除以99的数都是循环，我老师讲过。

Answer 4

第三问 18=2*3*3 2^2*3^2*5= 180

第二问 很多人解答到了 最后几位是70470... 之后...

分解99=9*11 mod9 很好算,把所有数字加起来. mod11有点麻烦. 奇数位数字和减去偶数位数字和,末尾是奇数位. 分别算下. 简单说下, mod11 分成3组, 1位数 2位数 3位数. 1位数之差是
2+4+6+8-1-3-5-7-9=-5 两位数差值是45 三位数差值 分组算,相邻两数分为一组 差值是1, 故为--302*1+4=-298 总和是-5+45-298=-258 mod11=6

mod9 就是全加一起 一位数 二位数显然mod9 为0 三位数中到700前只需要关注百位.
100+200+300+400+500+600+7*6+1+2+3+4=2152mod9 为1 这样就知道了,

mod99 为 mod11 = 6 mod9=1 应该是 28
第一问 先找到满足3个条件的最小数... 37 之后加上210的整数倍.

两个最大的三位数 210x+37<2000 x取整=9 故 两数和为 1927 两个数为963,964.

PS 第二问真心不简单. 楼主你娇憨了.

Answer 5

三个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以7的余数之和是9，除以9的余数之和是15，则这三个数除以11的余数之和是多少？

那三个数是79,80,81
除以11的余数分别为2,3,4