Question

在三角形ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E

(1)如图（1），当角A为锐角时，连接BE，判断角BAC与角CBE的关系，并证明。
（2）图（1）中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当角BAC为钝角时，如图（2）CA的延长线与圆O相交于点E，问：角BAC与角CBE的关系是否相等。若相同，请给与证明，若不同，请说明理由

Answer 1

第一个问题
∠BAC＝2∠CBE。　证明如下：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB。
∴结合三角形内角和定理，有：∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－2∠ABC。

由三角形外角定理，有：∠AEB＝∠CBE＋∠ACB＝∠CBE＋∠ABC。
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠CBE＝∠AEB－∠ABC＝90°－∠ABC。

由∠BAC＝180°－2∠ABC＝2（90°－∠ABC）、∠CBE＝90°－∠ABC，得：∠BAC＝2∠CBE。

第二个问题
两角的大小关系是相同的，即此时也有：∠BAC＝2∠CBE。　证明如下：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB。
∴结合三角形内角和定理，有：∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACb＝180°－2∠ABC。

∵AB是直径，∴∠CEB＝90°，∴∠CBE＝90°－∠ACB＝90°－∠ABC。

由∠BAC＝180°－2∠ABC＝2（90°－∠ABC）、∠CBE＝90°－∠ABC，得：∠BAC＝2∠CBE。

Answer 2

第一个问题
∠BAC＝2∠CBE。　证明如下：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB。
∴结合三角形内角和定理，有：∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－2∠ABC。

由三角形外角定理，有：∠AEB＝∠CBE＋∠ACB＝∠CBE＋∠ABC。
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠CBE＝∠AEB－∠ABC＝90°－∠ABC。

由∠BAC＝180°－2∠ABC＝2（90°－∠ABC）、∠CBE＝90°－∠ABC，得：∠BAC＝2∠CBE。

第二个问题
两角的大小关系是相同的，即此时也有：∠BAC＝2∠CBE。　证明如下：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB。
∴结合三角形内角和定理，有：∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACb＝180°－2∠ABC。

∵AB是直径，∴∠CEB＝90°，∴∠CBE＝90°－∠ACB＝90°－∠ABC。

由∠BAC＝180°－2∠ABC＝2（90°－∠ABC）、∠CBE＝90°－∠ABC，得：∠BAC＝2∠CBE。