Question

如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，角BAC的平分线交BC于D，交圆O于E，AC=6，AB=8，求CE的长。

Answer 1

∵AB是直径，∴AC⊥BC，∴由勾股定理，有：BC＝√（AB^2－AC^2）＝√（64－36）＝2√7。
∵∠CAD＝∠BAD，∴由三角形内角平分线定理，有：CD/BD＝AC/AB＝6/8＝3/4，
由合比定理，得：CD/（CD＋BD）＝3/（3＋4），　∴CD/BC＝3/7，　∴CD＝3BC/7＝6√7/7。
再由勾股定理，有：AD＝√（AC^2＋CD^2）＝√（36＋36×7）＝6√8＝12√2。

显然有：∠BAD＝∠BCE、∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CDE，∴AB/CE＝AD/CD,
∴CE＝AB×CD/AD＝8×（6√7/7）/（12√2）＝（4√7/7）/√2＝2√14/7。
即：CE的长为2√14/7。

Answer 2

∵AB是直径，∴AC⊥BC，∴由勾股定理，有：BC＝√（AB^2－AC^2）＝√（64－36）＝2√7。
∵∠CAD＝∠BAD，∴由三角形内角平分线定理，有：CD/BD＝AC/AB＝6/8＝3/4，
由合比定理，得：CD/（CD＋BD）＝3/（3＋4），　∴CD/BC＝3/7，　∴CD＝3BC/7＝6√7/7。
再由勾股定理，有：AD＝√（AC^2＋CD^2）＝√（36＋36×7）＝6√8＝12√2。

显然有：∠BAD＝∠BCE、∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CDE，∴AB/CE＝AD/CD,
∴CE＝AB×CD/AD＝8×（6√7/7）/（12√2）＝（4√7/7）/√2＝2√14/7。
即：CE的长为2√14/7。