Question

高中数学题: 关于反函数

函数y=x2(平方)-2ax-3 在区间[1,2]存在反函数的充分必要条件是?

Answer 1

存在反函数的冲要条件就是在这个区间内，函数值域没有重复取值（单射）

对于二次函数，那么就是坐标顶点不可以落在这个区间内

那么对于这个二次函数，可以先配方
y=(x-a)^2-3-a^2
那么它的顶点就是（a,-3-a^2)
所以，
函数y=x2(平方)-2ax-3 在区间[1,2]存在反函数的充分必要条件是
a<=1,或a>=2

Answer 2

存在反函数的充分必要条件是有单调性，另外，本题还要考虑到a的取值。这是道好题，别人只能给你提示，最后解决还要靠你自己。

Answer 3

存在反函数
则表示对称轴一定不在[1,2]区间内
所以
函数对称轴x=2a/2=a
所以a不在[1,2]区间内
所以a<=1或者a>=2

这里如果对称轴在[1,2]区间
则由于对称
在[1,2]区间1个y值对应2个x值，这样就不会有反函数了

Answer 4

y=[x+(1+x^2)^1/2]^1/3+[x-(1+x^2)^1/2]^1/3
等式右边分子分母同乘以[x-(1+x^2)^1/2]^1/3得:
y=[([x-(1+x^2)^1/2]^1/3)^2
-1]/([x-(1+x^2)^1/2]^1/3)
=[x-(1+x^2)^1/2]^1/3
-
1/([x-(1+x^2)^1/2]^1/3)
等式两边同时3次方，得:
y^3
=
x-(1+x^2)^1/2
-3{[x+(1+x^2)^1/2]^1/3+[x-(1+x^2)^1/2]^1/3}
-
1/[x-(1+x^2)^1/2]
y^3
+3y
=
x-(1+x^2)^1/2-
1/[x-(1+x^2)^1/2]
等式右边1/[x-(1+x^2)^1/2]分子分母同乘以x+(1+x^2)^1/2
y^3
+3y
=x-(1+x^2)^1/2
+
[x+(1+x^2)^1/2]
y^3
+3y
=2x
x
=
1/2
(y^3
+3y)

Answer 5

y+3+a方=(x-a)方
x-a=根号(y+3+a方)>0在[1,2]成立
x-a>0
所以a<1