Question

求函数f(x)=tanx的带有佩亚诺行余项的3阶麦克劳林公式

Answer 1

f(x)=tanx，
所以f '(x)=1/cos²x，
f "(x)= 2cosx*sinx / (cosx)^4 = 2sinx /(cosx)^3
f "'(x)= [2cosx*(cosx)^3 - 2sinx*3cos²x* (-sinx) ]/ (cosx)^6
于是当x=0时，
f(0)=0，f '(0)=1，f "(0)=0，f "'(0)=2

故f(x)=tanx带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式是，
f(x)=f(0) f'(0)x f''(0)/2!·x^2, f'''(0)/3!·x^3 o(x^n)
=0 x 0 2/3! ·x^3 o(x^n)
= x x^3 /3 o(x^n) 其中o(x^n)为公式的皮亚诺(Peano)余项

Answer 2

f(x)=tanx，
所以f '(x)=1/cos²x，
f "(x)=- 2cosx*sinx / (cosx)^4 = -2sinx /(cosx)^3
f "'(x)= -[2cosx*(cosx)^3 - 2sinx*3cos²x* (-sinx) ]/ (cosx)^6
于是当x=0时，
f(0)=0，f '(0)=1，f "(0)=0，f "'(0)=-2

故f(x)=tanx带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式是，
f(x)=f(0) f'(0)x f''(0)/2!·x^2, f'''(0)/3!·x^3 o(x^n)
=0+0+0-2/3！x³+o（x³）
其中o(x³)为公式的皮亚诺(Peano)余项

Answer 3

求导一下即可，答案如图所示

Answer 4

f'''(x)=(2cosx^2+6sinx^2)/cosx^4
f(0)=0
f'(0)=1/cosx^2=1
f''(0)=2sinx/cosx^3=0
依第一式子得f'''(0)=2
令x0=0
依据Maclaurin公式：
f(x)=tanx=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^2/3!+O((x-x0)^3)
将x0的值代入得
f(x)=tanx=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+O(x^3)
再将已计算的各阶导数的值代入
f(x)=tanx=0+x+0x2^2/2!+2x^3/3!+O(x^3)
化简得
f(x)=tanx=x+x^3/3+O(x^3)