Question

急求！正四面体ABCD中,棱长为a,点E，F分别是AB,CD的中点。求异面直线AD，BC所成角大小。求线段EF的长

Answer 1

取AD中点M，连结EM、FM，
作AH⊥平面BCD，H在平面BCD上，
∵AB=AC=AD，
∴H是A在平面BCD上的射影，是△BCD外心，
连结DH，延长交BC于N点，
∵DN⊥BC，
DH是AD在平面BCD上的射影，
∴根据三垂线定理，若平面内直线垂直斜线的射影，则必与斜线垂直，
∴AD⊥BC，即异面直线AD，BC所成角为90度。
（正四面体对棱互相垂直），
∵EM和MF分别是△ABD和△ADC的中位线，
∴EM//BD，MF//AC，EM=MF=a/2,
∵AC⊥BD，（正四面体对棱互相垂直），
∴〈EMF=90°，
∴△EMF是等腰RT△，
∴EF=√2EM=√2a/2.