Question

求lim[（1+x)^1/x-e]/x，x趋向于0

Answer 1

分子 lim[x→0] (1+x)^(1/x)-e=lim[x→0] (1+x)^(1/x) -e=e-e=0
分母 lim[x→0] x=0
所以题目属于0/0形式,适合用洛必达法则:
首先求(1+x)^(1/x)的导数
设y=(1+x)^(1/x)
lny=ln(1+x)/x,两边对x求导
1/y·y'=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²
1/y·y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/x²(1+x)
y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)

lim[x→0] [(1+x)^(1/x)-e]/x,上下分别求导,分母x的导数是1,e的导数是0,所以剩余的就是(1+x)^(1/x)的导数
=lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)
=lim[x→0] (1+x)^(1/x)·lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]
=e·lim[x→0] {1-[ln(1+x)+(1+x)·1/(1+x)]}/[(1+x)·2x+x²],再上下求导
=e·lim[x→0] [1-ln(1+x)-1]/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] ln(1+x)/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] 1/(1+x)/(2+6x),再上下求导
=e·-lim[x→0] 1/[(1+x)(2+6x)],此时不为0/0形式,可以代入数值
=e·-1/[(1+0)(2+0)]
=e·-1/2
=-e/2

Answer 2

详情如图所示

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