Question

高中必修1数学函数解答题，高手做下，谢谢！

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c.
(1)若f(-1)=0,试判断函数f(x)零点的个数.
(2)若对x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),证明方程f(x)=(1/2)*[f(x1)+f(x2)]必有一个实数根属于(x1,x2).

Answer 1

第（1）问较容易，因为f(-1)=0即a-b+c=0,所以b=a+c，由于是二次函数f(x)=ax^2+bx+c,要判断函数零点，只需判断根的判别式b^2-4ac=（a+c）^2-4ac=(a-c)^2>=0，当a=c时，函数图象与x轴有一个交点，所以函数有一个零点，当a不等于c时函数图象与x轴有两个交点，所以函数有两个零点。
对于第（2）问，由题意，不妨设f(x1)<f(x2)，则f(x1)<f(x)=(1/2)[f(x1)+f(x2)]<f(x2)，即说明满足条件的x的值必有一个在（x1,x2）内，而另一个根在函数f(x)的对称轴的另一侧。当f(x1)>f(x2)时，同理。若不然，则f(x)必大于f(x1)、f(x2)。与f(x)=(1/2)[f(x1)+f(x2)]矛盾，所以方程f(x)=(1/2)*[f(x1)+f(x2)]必有一个实数根属于(x1,x2).
但愿可以给您参考。

Answer 2

分情况讨论：
1、a=0，一个
2、a不等于0，对称轴为-1，一个
对称轴不为-1，两个

追问

拜托，二次函数诶

Answer 3

（1）应为X=-1,所以a-b+c=0,所以b^2=a^2+c^2+2*a*c,所以2*b^2-4*a*c=2a^2+2a^2>0,所以b^2-4*ac>0,所以有两个零点。（2）第二题，证明题，自己看着做吧，提示下，设X。在X1-X2之间，带入就行