Question

两百分悬赏，一道数学选择题

已知抛物线C1：y=-x²+2mx+1（m为常数，且m≠0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B。若点P是抛物线C1上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m为
A、±√3
B、√3
C、±√2
D、√2

Answer 1

m=±√3
易知点C的坐标为(0,1)
对y=-x^2+2mx+1求导，得
y'= -2x+2m
令y'=0,即-2x+2m＝0，解得x=m
因为y''= -2<0,
故抛物线C1:y=-x^2+2mx+1在x=m时取得最大值y=-m^2+2m*m+1=m^2+1
即顶点A的坐标为(m,m^2+1)
因抛物线C2与抛物线C1关于Y轴对称
故顶点B的坐标为(-m,m^2+1)
四边形ABCP为菱形,则有|AB|=|BC|
而|AB|=|m-(-m)|=2*|m|
|BC|=√[(-m-0)^2+(m^2+1-1)^2]=|m|*[√(1+m^2)]
故2*|m|=|m|*[√(1+m^2)]
√(1+m^2)=2
1+m^2=4
m=±√3

【附注：1、本题不用过多去考虑P点的坐标；2、本题m之所以有两个值，是因为当抛物线C1为y= -x^2+(2√3)x+1时，抛物线C2则为y= -x^2-(2√3)x+1,反之抛物线C1为y= -x^2-(2√3)x+1时，抛物线C2则为y= -x^2+(2√3)x+1】

Answer 2

这是一道二次函数综合题~

分析：由于C1、C2关于y轴对称，则A、B也关于y轴对称，即AB∥x轴；根据C1的解析式易知：C（0，1），A（m，m²+1）；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则CP∥AB，且AP=CP；由此可知P点纵坐标和点C相同也为1，代入C1的解析式可求出P点坐标；根据坐标系两点间距离公式可表示出AP、CP的长，根据AP=CP，可列出关于m的方程，即可得出m的值．

解答：
解：易知C（0，1），A（m，m²+1）；
若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则CP∥AB①，CP=AP②；
由①得：点P与点C纵坐标相同，将y=1代入C1，
得：x=0或x=2m，
即P（2m，1）；
由②得：（2m）²=m²+（m²+1-1）²，
即m²=3，
解得m=±√3
所以选A．

Answer 3

答案：m=±√3
因为C1：y=-x²+2mx+1=-（x-m）²+m²+1;
所以：定点坐标A为：（m,m²+1）,与y轴交点C的坐标为：（0,1）
因为C2与C1关于y轴对称，所以B的坐标为（-m,m²+1）
四边形ABCP为菱形,则有|AB|=|BC|
而|AB|=|m-(-m)|=2*|m|
|BC|=√[(-m-0)^2+(m^2+1-1)^2]=|m|*[√(1+m^2)]
故2*|m|=|m|*[√(1+m^2)]
√(1+m^2)=2
1+m^2=4
m=±√3
注明;我没有用求导的方法来求顶点坐标，主要是用了高中还是初中的知识 哈哈

Answer 4

根3 或 负根3

因为C1 C2关于Y轴对称，所以你不妨设m>0 ，因为对称过去都是一样的。
A(m,m^2+1) B(-m,m^2+1) C(0,1)
P一定在y=1上，这样AB//CP，而且AB=CP=2m
那么只需要BC=PC就好了，
BC=根号下（m^2+m^4） = PC=2m
m=正负根3

Answer 5

易知点C的坐标为(0,1)
对y=-x^2+2mx+1求导，得
y'= -2x+2m
令y'=0,即-2x+2m＝0，解得x=m
因为y''= -2<0,
故抛物线C1:y=-x^2+2mx+1在x=m时取得最大值y=-m^2+2m*m+1=m^2+1
即顶点A的坐标为(m,m^2+1)
因抛物线C2与抛物线C1关于Y轴对称
故顶点B的坐标为(-m,m^2+1)
四边形ABCP为菱形,则有|AB|=|BC|
而|AB|=|m-(-m)|=2*|m|
|BC|=√[(-m-0)^2+(m^2+1-1)^2]=|m|*[√(1+m^2)]
故2*|m|=|m|*[√(1+m^2)]
√(1+m^2)=2
1+m^2=4
m=±√3

Answer 6

一个标准的答案：m=±√3
易知点C的坐标为(0,1)
对y=-x^2+2mx+1求导，得
y'= -2x+2m
令y'=0,即-2x+2m＝0，解得x=m
因为y''= -2<0,
故抛物线C1:y=-x^2+2mx+1在x=m时取得最大值y=-m^2+2m*m+1=m^2+1
即顶点A的坐标为(m,m^2+1)
因抛物线C2与抛物线C1关于Y轴对称
故顶点B的坐标为(-m,m^2+1)
四边形ABCP为菱形,则有|AB|=|BC|
而|AB|=|m-(-m)|=2*|m|
|BC|=√[(-m-0)^2+(m^2+1-1)^2]=|m|*[√(1+m^2)]
故2*|m|=|m|*[√(1+m^2)]
√(1+m^2)=2
1+m^2=4
m=±√3

【附注：1、本题不用过多去考虑P点的坐标；2、本题m之所以有两个值，是因为当抛物线C1为y= -x^2+(2√3)x+1时，抛物线C2则为y= -x^2-(2√3)x+1,反之抛物线C1为y= -x^2-(2√3)x+1时，抛物线C2则为y= -x^2+(2√3)x+1】
不客气