Question

设函数f(x)=x+根号(2-x),证明:在(负无穷大,7/4】上f(x)是增函数,并求f(x)的最大值

Answer 1

设函数f(x)=x+√(2-x),证明:在(-∞,7/4]上f(x)是增函数,并求f(x)的最大值
解：定义域：由2-x≧0，得x≦2
令f′(x)=1-1/[2√(2-x)]=1-[√(2-x)]/[2(2-x)]=[4-2x-√(2-x)]/[2(2-x)]>0，
由于2-x>0，故得4-2x-√(2-x)>0，2(2-x)>√(2-x)，两边平方去根号得4(2-x)²>2-x，
(2-x)[4(2-x)-1]=(2-x)(7-4x)=(x-2)(4x-7)=4(x-2)(x-7/4)>0，由于已知x-2<0，故必有x-7/4<0，即x<7/4时有f′(x)>0，∴在区间(-∞,7/4]上f(x)是增函数.
∵在区间(-∞,7/4]上f(x)是增函数，∴maxf(x)=f(7/4)=7/4+√(2-7/4)=7/4+1/2=9/4.