Question

已知关于X的一元二次方程（a-1）x^2+（2-3a）x+3=0

1 求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有俩个实数根
2 若m，n（m＜n）是此方程俩根，并且1/m+1/n=3/4。直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B，坐标原点O关于直线l的对称点o‘在反比例函数y=k/x的图像上，求反比例函数y=k/x的解析式
3 在(2)成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角@（0°＜@＜90°），得到直线l‘，l’交y轴于点P作x轴的平行线，与上述反比例函数y=k/x的图像交与点Q，当四边形APQO‘的面积为9- 3根号3/2 时，求角@的值

Answer 1

已知关于X的一元二次方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0
(1 )求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有俩个实数根
(2) 若m，n（m＜n）是此方程俩根，并且1/m+1/n=4/3。直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B，坐标原点O关于直线l的对称点o‘在反比例函数y=k/x的图像上，求反比例函数y=k/x的解析式
(3 )在(2)成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜90°），得到直线l‘，l’交y轴于点P作x轴的平行线，与上述反比例函数y=k/x的图像交与点Q，当四边形APQO‘的面积为9- 3根号3/2 时，求角α的值
(我把条件1/m+1/n=3/4改成了4/3，不然结果很麻烦！)
解:(1).∵Δ=(2-3a)²-12(a-1)=9a²-24a+16=(3a-4)²≧0对任何a都成立，∴当a≠1(若a=1,则原方程
就不再是二次方程)时此方程总有两个实数根（a=4/3时是重根。）
(2).1/m+1/n=(m+n)/mn=[-(2-3a)/(a-1)]/[3/(a-1)]=(3a-2)/3=a-(2/3)=4/3，故a=2/3+4/3=2
因为m，n是方程的根，故其中m+n=-(2-3a)/(a-1)，mn=3/(a-1)，故得上式。
将a值代入原方程并化简得： x²-4x+3=(x-1)(x-3)=0，故得m=1，n=3.
故直线L：y=x+3与x轴的交点A(-3，0)，与y轴的交点B(0，3)；设坐标原点关于L的对称
点O′的坐标为(p，q)，则OO′的中点(p/2，q/2)在直线L上，故有q/2=(p/2)+3，
化简得q=p+6.............(1)；又OO′⊥L(二者的斜率成负倒数)，∴q/p=-1，即有q=-p...........(2)
(1)(2)联立求解: -p=p+6，故p=-3，q=3；
点O′(-3，3)在反比例函数y=k/x上，故将其坐标代入得k=pq=-9；于是得反比例函数：y=-9/x
(3)直线L的倾角为45°，将其绕点A逆时针旋转一个锐角α后所得直线L′的倾角为45°+α，因此L′的斜率为tan(45°+α)，其方程为y=[tan(45°+α)](x+3)，其与y轴的交点P的坐标为(0，3tan(45°+α))；
将y=3tan(45°+α)代入反比例函数方程，得x=-9/[3tan(45°+α)]=-3cot(45°+α)，故交点Q的坐标为
(-3cot(45°+α)，3tan(45°+α))；于是四边形APQO′各顶点的坐标如下：
A(-3，0)；P(0，3tan(45°+α))；Q(-3cot(45°+α)，3tan(45°+α))；O′(-3，3)；再加一点B(0，3).
故四边形APQO′的面积S=梯形BPQO′的面积S₁+正方形AOBO′的面积S₂-△AOP的面积S₃；
其中S₁=(1/2)[3cot(45°+α)+3)[3tan(45°+α)-3]=(9/2)[(cot(45°+α)+1]/[tan(45°+α)-1]
=(9/2)[1+tan(45°+α)-cot(45°+α)-1]=(9/2)[(1+tanα)/(1-tanα)-(1-tanα)/(1+tanα)]
=18tanα/(1-tan²α)
S₂=3×3=9；S₃=(1/2)×3×3tan(45°+α)=(9/2)tan(45°+α)=(9/2)[(1+tanα)/(1-tanα)]
于是得一等式：18tanα/(1-tan²α)+9-(9/2)[(1+tanα)/(1-tanα)]=9-3√3/2
即有18tanα/(1-tan²α)-(9/2)[(1+tanα)/(1-tanα)]=-3√3/2
36tanα-9(1+tanα)²=-3(√3)(1-tan²α)
化简整理得(9+3√3)tan²α-18tanα+9-3√3=0
故tanα={18-√[(324-4(9+3√3)(9-3√3)]}/[2(9+3√3)]=[18-√(324-216)]/[2(9+3√3)]
=(18-√108)/[2(9+3√3)]=(18-6√3)/[2(9+3√3)]=(3-√3)(3+√3)=(1-√3/3)/(1+√3/3)=tan(45°-30°)
=tan15°，即α=15°
(注：根号前不能取正号，因为若取正号，则得tanα=1，α=45°，此时L′⊥x轴，与y轴无交点，即
四边形成了一条线段，四边形不再存在。)

Answer 2

1、证明：当a取不等于1的实数时，此方程是一元二次方程：
因为b^2-4ac=(2-3a)^2-4*（a-1）*3=4-12a+9a^2-12a+12=9a^2-24a+16=(3a-4)^2是一个非负数，所以方程总有两个实数根。

追问

主要是2 3 俩题啦……

Answer 3

0<k<1.