Question

AD=DC=BC,角BCD=2角BAD,求证:角ABC=120度-角BAD

Answer 1

证明：
连接BD，作CE⊥BD于E
∵BC=DC，即⊿BCD是等腰三角形，根据三线合一，CE也是中线和角平分线
∴BE=DE，∠BCE=∠DCE
∵∠BCD=2∠BAD
∴∠BCE=∠BAD
作DF⊥AB于F，则∠AFD=∠CEB=90º
又∵AD=CB
∴⊿ADF≌⊿CBE（AAS）
∴DF=BE，则DF=½BD
∴∠DBF=30º
∵∠ABC=∠DBF+∠CBE=30º+90º-∠BCE=120º-∠BCE
∴∠ABC=120º-∠BAD

Answer 2

以AB为对称轴做C*和D*与C、D对称，连接DD*,AD*,D*C*,BC*,则有三角形BCD、ADD*和BC*D*三个三角形全等，所以DD*=BD*=BD,即三角形BDD*为等边三角形。连接CD*交AB于E，则角CD*D等于三十度；AB交DD*于F，则DD*垂直于AB，即角BFD*为直角，所以角CEF=角CD*D+角BFD*=120°
又因为：角CEF为三角形CBE的外角，所以角CEF=角ECB+角EBC
所以：角ABC=角EBC=角CEF-角ECB=120°-角BAD
（角BDC=2角BAD,CD*平分角角BDC）

Answer 3

以C点为圆心，以CD长度为半径画圆，由题意可以知道，角C是圆心角，角A是圆周角，且

∠C=2∠A。如图所示、连接AC，易得△ACD是等边三角形。BC=CA ∴∠ABC=∠BAC 

∠ABC+∠BAD=∠BAC+∠BAD=∠CAD=60°  

△A’BD≌△ABD ∠A‘BD=∠ABD=30°

又∵∠ABC+∠BAD=60°  

∠A’BC+∠BAD=∠A‘BD+∠ABD+∠BAC+∠BAD

∠A’BC+∠BAD=120°