Question

不等式|x-1|+|x+3| <a 的解集不是空集，则实数a的取值范围是 .

Answer 1

|x-1|+|x+3|表示X轴上点X到点1与点-3的距离和。最小值即为在此两点的线段上的点，最小的距离为线段的长度4.
因此解集不是空集的话，有： a>4

Answer 2

当X小于等于-3时，|x-1|+|x+3| =-（X-1）-（X+3）=-2X-2大于等于4
当X在-3与1之间时，|x-1|+|x+3| =-（X-1）+（X+3）=4
当X大于等于1时，|x-1|+|x+3| =（X-1）+（X+3）=2X+2大于等于4
所以|x-1|+|x+3|恒大于等于4
所以当a大于4时|x-1|+|x+3| <a不为空集

Answer 3

不是空集，则x有解，在X有解的情况下，左边是大于等于4的，所以a要大于4，否则是不存在实数X使右边小于4的。这不是恒成立问题是存在性问题，只要存在X使不等式成立就可以，而不是对任意X都成立，所以a取任何大于4时，都有X取1到3的任何数，使左边最小（等于4），此时不等式成立。