Question

设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时，证明|A|≠0 后面的一部分解答没看懂

证明: 由已知A*=A^T
所以有 AA^T = AA* = |A|E.
再由A为n阶非零实方阵, 可设aij≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得
|A| = ai1^2+...+aij^2+...+ain^2 > 0
(因为 ai1,...,aij,...,ain 都是实数,且aij≠0)
所以 |A|≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得|A| = ai1^2+...+aij^2+...+ain^2 > 0，这是怎么过来的？

Answer 1

你好~
|A|E=AA^T，那么|A|E的第i行第i列的元素就是A的第i行元素与A^T的第i列的元素逐个相乘之和，
【逐个相乘就是A的第i行第1列的元素与A^T的第i列第1行的元素相乘，A的第i行第2列的元素与A^T的第i列第2行的元素相乘，...，A的第i行第j列的元素与A^T的第i列第j行的元素相乘，...，A的第i行第n列的元素与A^T的第i列第n行的元素相乘，
而A^T的第i列第j行的元素就是A的第i行第j列的元素，
然后求和就是AA^T的第i行第i列元素，也就是|A|E第i行第i列的元素】
也就是|A|E中第i行第i列的|A|=ai1^2+...+aij^2+...+ain^2
由于已经设aij≠0，所以|A|>0

有不明白的可以追问，谢谢！

Answer 2

这种题说半天i,j的，是很容易混乱。举个实际的例子就好了
A是4阶方阵，A23不为0（具体点，不妨假设A23=2好了），其它都是0。
A=
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0

那AT=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 0 0

考察AAT的第二行第二列的元素，就是A的第二行乘以了AT的第二列。
=0*0+0*0+2*2+0*0
=4
>0

而AAT又必定是单位阵E的整数倍，所以AAT的的所有对角线元素都应该是4，而且非对角线元素就是0
那必定有|A|不为0,（此处就是|A|=4）

Answer 3

证明: 由已知A*=A^T
所以有 AA^T = AA* = |A|E.
再由A为n阶非零实方阵, 可设aij≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得
|A| = ai1^2 ... aij^2 ... ain^2