Question

高中数学 等差数列

已知{an}、{bn}是项数相同的两个等差数列，那么{Pan+Qan}(其中P,Q是常数）是不是等差数列?为什么？
麻烦各位给我个详细的答案！谢谢！

Answer 1

是等差数列，解答如下：
由于an、bn都是项数相同的等差数列
所以设 an=a1+(n－1)d1 ，bn=b1+(n－1)d2
则 pan+q bn=p〔a1+(n－1)d1〕+q〔b1+(n－1)d2〕
=（pa1+qb1）+(pd1+qd2)(n－1)
因为p、a1、q、b1都是常数，所以上式符合等差数列的通项公式，
故是等差数列
也可以用第n+1项减去第n项，观察是否为常数。你可以自己证

Answer 2

设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公差为d2，则d1，d2都是常数。
设数列Cn=Pan+Qbn{你的原题应该是错了}
C（n+1）-Cn=Pa(n+1)+Qb(n+1)-Pan-Qbn
=P[a(n+1)-an]+Q[b(n+1)-bn]
=Pd1+Qd2
所以{Pan+Qbn}(其中P,Q是常数）是等差数列

Answer 3

首先：严格来讲你说的不正确。。。这也是很多老师讲错的地方，是一个细节。。。
a(n) - a(n-1) = 同一个常数 d，而不是一个常数
数学要求的是严谨。你的这个问题：任意找相邻的两项来减看它是不是常数就可以了？要找多少对来相减呢？一对可以没？
既然你可以找到任意相邻的两项为什么不用 a(n) - a(n-1) = d(常数)，这样既简单又有说服力。。。

数学这个讲究的是科学，严谨，而不是估计加统计，数学里有数学归纳法，但归纳出来后还要证明，原理就再此。。。思路不严谨的永远学不好数学，希望LZ在这一方面要好好培养自己。。。

追问

其实是我的题目写错了，不好意思。应该是{Pan+Qbn}

Answer 4

设公差分别为d,b
pan+qbn=p[a1+(n-1)d]+q[b1+(n-1)b]
=p[a1+nd]+q[b1+nb]-(pd+qb)
=pa(n+1)+qb(n+1)-(pd+qb)
将上式变形 pa(n+1)+qb(n+1)-（pan+qbn）=pd+qb
刚好是等差数列{Pan+Qbn}的第n+1项减第n项 所以 pd+qb
为公差
所以是公差为{Pan+Qbn}的等差数列

注：按题目的意思 你题目写错了 {Pan+Qan}为 {Pan+Qbn}

Answer 5

∵{an}、{bn}是项数相同的两个等差数列
设{an}、{bn}的公差分别为d1、d2
∴an=a1+(n-1)d1, bn=b1+(n-1)d2
∴Pan+Qan=P[a1+(n-1)d1]+Q[b1+(n-1)d2]
=Pa1+Qb1+(n-1)(P·d1+Q·d2)
∴{Pan+Qan}是公差为P·d1+Q·d2的等差数列