Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD,AB+AD=4，CD=根号2，∠CDA=45°。（1）求证：

平面PAB⊥平面PAD;（ii）设AB=AP(I) 若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长。 (II)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P,B.C.D的距离都相等？说明理由。

Answer 1

解：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD
又∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD

（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz（如图）
在平面ABCD内，作CE∥AB交于点E，则CE⊥AD
在Rt△CDE中，DE=CD•cos45°=1，
CE=CD•sin45°=1
设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）
由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以E（0，3-t，0），C（1，3-t，0），D（0，4-t，0）
CD=(-1,1,0), PD=(0,4-t,-t)
设平面PCD的法向量为 n=(x,y,x)
由n⊥CD,n⊥PD得
(ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等
由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45°
从而∠CGD=90°，即CG⊥AD
所以GD=CD•cos45°=1
设AB=λ，则AD=4-λ，AG=AD-GD=3-λ
在Rt△ABG中，
GB=
这GB=GD与矛盾．
所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B、C、D的距离都相等．
从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等．

Answer 2

1,因为PA⊥面ABCD；AB在平面ABCD上,所以AB⊥PA ,又有AB⊥AD,所以AB⊥面PAD,又有AB在面PAB上,所以平面PAB⊥平面PAD.
2.A为原点建立空间直角坐标系。。写出各点坐标然后在套公式。。。。。。。。

Answer 3

解：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD
又∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD
（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz（如图）

在平面ABCD内，作CE∥AB交于点E，则CE⊥AD
在Rt△CDE中，DE=CD•cos45°=1，
CE=CD•sin45°=1
设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）
由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以E（0，3-t，0），C（1，3-t，0），D（0，4-t，0）
CD =(-1，1，0)， PD =(0，4-t，-t)
设平面PCD的法向量为 n =(x，y，x)
由 n ⊥ CD ， n ⊥ PD ，得 -x+y=0 (4-t)y-tz=0
取x=t，得平面PCD的一个法向量为 n =(t，t，4-t)
又 PB =(t，0，-t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得
cos（90°-30°）=1 2 =| n • PB | |n |•| PB |
即|2t2-4t| t2+0+(-t)2 t2+t2+(4-t)2 =1 2
解得t=4 5 或t=4（舍去，因为AD=4-t＞0）
所以AB=4 5

（ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等

由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45°
从而∠CGD=90°，即CG⊥AD
所以GD=CD•cos45°=1
设AB=λ，则AD=4-λ，AG=AD-GD=3-λ
在Rt△ABG中，
GB= AB2+AG2 = λ2+(3-λ)2 = 2(λ -3 2 )2+9 2 ＞1
这GB=GD与矛盾．
所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B、C、D的距离都相等．
从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等．