Question

帮忙解一下2010年浙江东阳数学中考题的第十六题

矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第一象限，且是两直线y1＝2x＋6、y2＝2x－6中某条上的一点，若△APD是等腰Rt△，则点D的坐标为多少？ 详细解答，要求写出证明过程

Answer 1

点D的坐标为（4，2），（4，14），（3分之20，3分之22），（3分之28，3分之38）
解：易知：A（0，6），C（8，0），AB=8，OA=BC=6；
则点A正好位于直线y=2x+6上；
（1）当点D位于直线y=2x+6上时，分三种情况：
①点P为直角顶点，结合图形，显然此时点D位于第四象限，不合题意；
②点D为直角顶点，那么∠DAP=45°，结合图形可知：∠DAB＞45°，
而点P位于线段BC上，故不存在这样的等腰直角三角形；
③点A为直角顶点，如图；
过D作DE⊥y轴于E，则△ADE≌△APB，得：AE=AB=8；
即点D的纵坐标为：14，代入y=2x+6中，可求得
点D（4，14）；

（2）当点D位于直线y=2x-6上时，分三种情况：
①点A为直角顶点，结合图形可知，此种情况显然不合题意；
②点D为直角顶点，分两种情况：
1、点D在矩形AOCB的内部时，设D（x，2x-6）；
则OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；
过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F；
则△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：
12-2x=8-x，x=4；
D（4，2）；
2、点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x-6）；
则OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；
同1可知：△ADE≌△DPF⇒AE=DF，即：
2x-12=8-x，x=3分之20
∴D（3分之20，3分之22）

③点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；
设点D（x，2x-6），则CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；
易证得△APB≌△PDF，得：
AB=PF=8，PB=DF=x-8；
故BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；
联立两个表示BF的式子可得：
2x-12=16-x，即x=3分之28
∴D（3分之28，3分之38）
综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且D点的坐标为（4，2），（4，14），（3分之20，3分之22），（3分之28，3分之38）

我曾经看过东阳的标准答案，好像有一个是不对的。