Question

求证：tan x/x>x/sin x （0<x<π/2）

Answer 1

用α表示x .

知识：用单位圆中的三角函数线。

方法：将sinα、α、tanα转化为单位圆中的线段或弧线。

过程：如图，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，AT是切线。

则有sinα=MP/OP=MP，tanα=AT/OA=AT          (注：单位圆的半径为1 ）

α=弧AP/r=弧AP       (注：弧长与半径的比等于圆心角的弧度数的绝对值。r=1为半径）

（1）易知 MP<弦AP<弧AP  ，所以  sinα<α

（2）S扇形OAP= 弧AP•r/2=弧AP/2=α/2，

     S⊿OAT=OA•AT/2=AT/2=(tanα)/2

因为 S扇形OAP < S⊿OAT ，所以α/2<(tanα)/2，

即α<tanα

从而，当α为锐角时，有 tanα>α>sinα

追问

请看清问题！

追答

不好意思，现在证明f(x)=tanxsinx -x² 在x∈[0,π/2）上是增函数。
f'(x)=tan'xsinx+tanxsin'x - 2x
=sinx/cos²x+tanxcosx -2x
=tanx/cosx +tanxcosx -2x
=tanx(1/cosx +cosx) -2x
≥tanx•2√[(1/cosx)cosx] -2x
=2tanx -2x
=2(tanx -x)≥0
所以　f(x)=tanxsinx -x² 在x∈[0,π/2）上是增函数
从而，当x>0,x∈（0,π/2）时，有
f(x)>f(0)=0
即　tanxsinx -x² >0
tanxsinx >x²
tan x/x>x/sin x