Question

一个关于积分上限求导公式的疑问

令F(x)=∫(0,x) (x^2-t^2)dt 式1
下面对其求导：
如果先把F（x）积出来，有F（x）=x^3-x^3/3+C=(2x^3)/3+C,
再对x求导有F'(x)=2x^2
但是如果直接对式1用积分上限求导公式有（∫(0,x) (x^2-t^2)dt）'= x^2-x^2 =0;
两者怎么不一样呢
如当x=2时第一种方法中F'(x)为8，而第二种方法一直为0

Answer 1

直接积分求出的F(x)没有问题。
直接对①式求导，你做的不对。
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变上限积分的导数公式，其应用的前提是，被积函数的表达式不能含有积分上下限中的变量，你这个积分里面，被积函数就含有上限字母x，正确的做法应该是先对积分进行恒等变形，使被积函数只含有积分变量t ，使x分离出来：
解：F(x)＝∫ (x²-t²)dt＝ ∫ x²dt－∫ t²dt＝ x²· ∫ dt － ∫ t²dt ＝ x²·(x－0)－∫ t²dt ＝x³－∫ t²dt
也就是说，F(x)＝x³－∫ t²dt ，其中积分上下限分别是x 和0
现在你才能用变上限积分的导数公式对它求导：F'(x)＝3x²－x²＝2x²