Question

求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得弦长为2√7的圆方程

Answer 1

设圆心是(a,3a),
与X轴相切
则半径=|3a|
(x-a)^2+(y-3a)^2=9a^2
被直线X-Y=0截
y=x,代入，整理
2x^2-8a+a^2=0
x1+x2=4a,x1*x2=a^2/2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=14a^2
因为两点在y=x上，所以
(y1-y2)^2=(x1-x2)^2=14a^2
弦长为2倍根7
所以(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(2倍根7)^2=28
14a^2+14a^2=28
a^2=1
a=1,a=-1
所以有两解
(x-1)^2+(y-3)^2=9
(x+1)^2+(y+3)^2=9

Answer 2

先画图~~~
设圆心为（a,b)。由题可知，b=3a
因为圆与x轴相切，所以|b|=半径r
圆心到直线x-y=0的距离h为|a-3a|/√2，且r，h，弦长的一半构成直角三角形~
可得关系式：r^2-h^2=(√7)^2
所以9a^2-2a^2=7，所以a=±1
①当a=1时，圆心为（1,3）半径r=3
根据圆的公式：（x-a)^2+(y-b)^2=r^2可知
圆的方程为：（x-1)^2+(y-3)^2=9
②当a=-1时，圆心为（-1，-3）半径r=3
圆的方程为：（x+1)^2+(y+3)^2=9

Answer 3

设圆心为（a，3a），半径为 r=|3a|，
圆心到直线 x-y=0 的距离 d=|a-3a|/√2=√2|a|，
由勾股定理，d^2+(L/2)^2=r^2，
所以 2a^2+7=9a^2，
解得 a=-1或a=1，
因此，所求的圆的方程为 (x-1)^2+(y-3)^2=9 或 (x+1)^2+(y+3)^2=9。