Question

函数f(x)在[0,+∞) 上有二阶导数,且f(0)=0,f''(x)>0,证明f(x)/x在(0,+∞) 上单调递增

Answer 1

设F(x)=f(x)/x，则
F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²

设G(x)=xf'(x)-f(x)，则
G(0)=0-f(0)=0
G‘(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)
当x>0时，G'(x)>0恒成立。∴G(x)在[0,+∞)单调增
又∵G(0)=0 ∴G(x)>0在(0,+∞)恒成立，即F'(x)>0在（0,+∞)恒成立
∴f(x)/x在(0,+∞) 上单调递增

Answer 2

由 Lagrange中值公式：
对于 x > 0, 有： f(x) - f(0) = f ' (ξ) x , 0 < ξ < x
f(0)=0,f''(x)>0， f '(x) 严格单增, f '(x) > f ' (ξ)
设F(x) = f(x) / x，则
F'(x) = [ x f '(x) - f(x)] / x² = [ f '(x) - f ' (ξ) ] / x > 0
即证 f(x)/x在(0,+∞) 上单调递增。

Answer 3

令g(x)=f(x)/x
则g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2
令h(x)=xf'(x)-f(x)
则h(0)=0*f‘(x)-f(0)=0
在（0，+∞），h'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)>0
h（x）为增函数，则h(x)>h(0)=0
x^2>0
所以在（0，+∞）
g’（x）=h(x)/x^2>0
所以g(x)在（0，+∞）上单调递增。
即f（x）/x在（0，+∞）上单调递增。