Question

关于线性代数行列式的问题 分块矩阵也能用计算行列式的公式吗？

图片在附件里面
我想知道为什么 |PQ| ！= PQ11PQ22- PQ12PQ21
看不清楚图片的可以点开大图查看

Answer 1

分块矩阵求行列式，不能按照你理解的把子块矩阵当做数来乘，首先一个简单的问题就是矩阵相乘必须要有行列数一致才可以，如果PQ11是2x2的，而PQ22是3x3的话，根本不能进行乘法运算。以后不要随意地用数字的运算法则去理解或者想象矩阵的运算，矩阵的运算都是我们根据需要定义出来的，与数的运算是两个不同的法则，特别是中间牵扯到乘法运算的时候。
至于本题，PQ已经写成分块上三角矩阵的形式，而且对角块都是方阵，这时候求它的行列式你应该可以联想到求一般的上三角阵行列式的方法，所以就是对角块的行列式的乘积。证明可以有两种方法，一种是直接用求行列式的Laplace定理证明；另一种是对第一个对角块PQ11的阶数m做数学归纳法。总之这个结论不是那么显然的，但是很有用。

Answer 2

PQ 是一个形如 H = A C 0 B 的分块矩阵 其行列式 |H| = |A||B| 参考:

所以 |PQ| = |A||-a^TA*a+b|A| | = |A| (b|A| - a^T |A|A^-1a ) --第2个行列式是 1行1列 的, 是个数, A* = |A|A^-1 = |A|^2 (b-a^TA^-1a).

追问

很感谢！