Question

高数。等价无穷小求过程

如图

Answer 1

这里只是使用了两个等价无穷小的结论而已，题目不要求你证明为什么有这种等价关系，知道并会用就可以了。
即：当x->0时
(1+x)^a-1~ax
1-cosx~x^2/2
注意第一步是把x^2当做整体来处理的，也就是(1+x^2)^(1/3)-1~x^2/3.
你题目里写成“=”的关系是不对的，左右两部分并不相等，只是当x->0时，他们比值的极限是1。这一点对于理解等价无穷小是非常重要的。

另外，下面是一些常用的等价无穷小关系：
当x→0时，
　　sinx~x
　　tanx~x
　　arcsinx~x
　　arctanx~x
　　1-cosx~(1/2)*（x^2）~ secx-1
　　（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
　　（e^x）-1~x
　　ln(1+x)~x
　　(1+Bx)^a-1~aBx
　　[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
　　loga(1+x)~x/lna

Answer 2

第一个用三角函数
cosx - 1= cos^2(x/2)-sin^2(x/2)-1 = -2sin^2(x/2) ~~ -2 (x/2)^2 = -x^2/2
很二个有一个更一般的结论(1+Bx)^a-1 ~ aBx
它的证明用洛必达法则一步就出来了
lim(x->0)(1+Bx)^a-1 / aBx
=lim(x->0)a(1+Bx)^(a-1)*B/aB
=1

Answer 3

1. 当 u->0 时, (1+u)^(1/3) - 1 ~ u/3
因为：
lim(u->0) [ (1+u)^(1/3) - 1] / u 分子分母同时乘以 (1+u)^(2/3) + (1+u)^(1/3) + 1
= lim(u->0) [ (1+u) - 1] / { u * [ (1+u)^(2/3) + (1+u)^(1/3) + 1 ] }
= lim(u->0) 1/ [ (1+u)^(2/3) + (1+u)^(1/3) + 1 ]
= 1/3
于是， 当 x->0 时, (1+x²)^(1/3) - 1 ~ x²/3
2. 当 x->0 时, sin²(x/2) ~ (-2) * (x/2)² = - x²/2
于是， 当 x->0 时, cosx - 1 = - 2 sin²(x/2) ~ - x²/2

Answer 4

这还要什么过程？
(1＋x)^α－1 ~ αx
1－cosx ~ (1/2)x² ，既然1－cosx ~ (1/2)x² ，那么cosx－1 ~ －(1/2)x²
这是任何版本的高数教科书里面的重要结论，可以直接用的。
如果非要过程，非要自己验证一下的话，那就是泰勒公式
(1＋x)^α 泰勒公式
cosx 泰勒公式
展开一看，你就懂了

Answer 5

先看分母cosx-1~-x^2/2------------------其实就是2倍脚和常用极限sinx~x
所以分母只要展开到2次方项就可以了
（1+x^2）^1/3=1+x^2/3+o(x^2)-------------泰勒展开
所以原式=【1+x^2/3+o(x^2)-1】/【-x^2/2】=-2/3