Question

一道微分中值定理题目

若函数f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导内有二阶导数，f(0)=0,F(x)=(1-x)^2f(x),证明：在(0,1)内至少有一点ξ，使得F''(ξ)=0.

这个题目很明显F(1)=F(0)=0，由罗尔中值定理很容易得到，存在ξ，使得F'(ξ)=0，但要证F''(ξ)=0，还应该有一点的一阶导数也等于0呀。怎么个证法？

Answer 1

看F(x)在x=1处的右导数，
F‘(1)=lim<x→1> (x-1)²f(x) /(x-1)
=lim (x-1)f(x)
=lim (x-1) lim f(x)
=0·f(1)
=0

这就是第二个你要找的导数为0的点