Question

求解初三数学题。。不胜感激。。

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，∠BAD=120°，∠MAN=60°.
将图1中的∠MAN绕点A按逆时针方向旋转角α，且0°<α<60°，边AM、AN分别交直线BC、CD于点E、F。
（1）如图2，判断线段BE、DF、EF的数量关系，请直接写出结论；
（2）如图3，（1）中的结论还成立吗？若成立请给出证明，若不成立请说明理由。

Answer 1

解答：
⑴结论：BE＋DF=EF。
⑵结论仍然成立。
证明：延长CB到G点，使BG=DF，
∵∠ABC =60°，∴∠ABG=120°，
∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠BAD=120°，
AB=AD，∴△ABG≌△ADF﹙SAS﹚，
∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，
∵∠BAE=α，∠EAF=60°，
∴∠DAF=120°－﹙60°＋α﹚
=60°－α=∠GAB，
∴∠GAE=60°－α＋α=60°=∠FAE，
∴△GAE≌△FAE﹙SAS﹚，
∴GE=FE，
即BE＋DF=EF。

Answer 2

(1)BE+DF=EF.
(2)(1)中的结论仍成立.
证明:延长CB到M,使BM=DF.连接AM.
AD平行BC,则∠ABM=∠BAD=120°;
梯形ABCD中,AB=CD,则梯形为等腰梯形,故∠D=∠BAD=120°=∠ABM.
∴ ⊿ABM≌⊿ADF(SAS),AM=AF; ∠BAM=∠DAF.
故∠MAF=∠BAD=120°;又 ∠EAF=60°,则∠MAE=∠FAE;AE=AE.
∴ ⊿MAE≌⊿FAE(SAS),ME=EF,即BE+BM=BE+DF=EF.