Question

在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,角ABC=90度,角BCD=135度,沿AC将四边形折

在平面四边形ABCD中，已知AB=BC=CD=a，角ABC=90度，角BCD=135度，沿AC将四边形折成直二面角B-AC-D，，求二面角B-AD-C的大小
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Answer 1

解：(在折起前的平面四边形中)
因为AB=BC=a，∠ABC=90°，则△ABC是等腰直角三角形
所以由勾股定理易得：AC=√2*a，且∠BCA=45°
又∠BCD=135°，则∠ACD=∠BCD-∠BCA=90°
则在Rt△ACD中，CD=a，由勾股定理得：AD=√3*a
(在折起后的图形中)
作AC中点E，连结BE，过点E作EF⊥AD，垂足为F，连结BF
则在等腰直角三角形中，易知BE⊥AC
又由二面角B-AC-D是直二面角，即平面ABC⊥平面ACD，
且平面ABC∩平面ACD=AC，BE在平面ABC内
可得：BE⊥平面ACD
则BF在平面ACD内的射影为EF
因为EF⊥AD，所以由三垂线定理可得：BF⊥AD
这就是说∠BFE就是二面角B-AD-C的平面角
由上易得BE=AE=AC/2=(√2/2)*a
且由Rt△AEF∽Rt△ADC可得：
EF/CD=AE/AD
则EF=AE*CD/AD=[(√2/2)*a]*a/(√3*a)=(√6/6)*a
所以在Rt△BEF中，tan∠BFE=BE/EF=[(√2/2)*a]/[(√6/6)*a]=√3
解得∠BFE=60°
所以二面角B-AD-C的大小为60°

Answer 2

60°