Question

求讲解一道大学数学分析的题

证明f(x)在(a,b)上连续，并且f(a+0),f(b-0)存在，则f(X)可取到f(a+0),f(b-0)之间，但不可能等于f(a+0),f(b-0)的一切值。

求详细讲解啊，过几天高数老师让我们上台去讲啊，，，，大二啊，，我还要讲啊，但是自己都没懂，求详细解答啊

Answer 1

f(x)在(a,b)内有可能等于f(a+0)或者f(b-0)吧~当然，并不一定能取到。

用闭区间上连续函数的介值定理即可（不会没学介值定理吧……）

定义一个[a,b]上的新函数F(x), a<x<b时F(x)=f(x), F(a)=f(a+0), F(b)=f(b-0).
容易验证F在a点右连续，b点左连续，所以F在[a,b]连续。
由连续函数的介值定理即可证明。

追问

谢谢，后面一段我懂了，学过介值定理。但是第一句话没理解，为什么可能等于f(a+0)与f(b-0)呢，
我翻了课本介值定理，最后有一句话说道：若f(X)在[a,b]内有间断点或仅在(a,b)上连续，则结论不一定成立，读者可自行举例。
有什么列子呢？这句话应该就是解决问题“但不可能等于f(a+0),f(b-0)的一切值”的吧

我高数学的不好，麻烦了

追答

比如考虑f(x)=sinx吧，a=0, b=3π/2. 那么f(a+0)=0, f(b-0)=-1.
而在(a,b)内，f(x)可以取到0(x=π时).
当然，在题目条件下，f在(a,b)内可能取到f(a+0), f(b-0), 但也可能取不到。一定能取到的是介于f(a+0), f(b-0)二者之间（不包含二者）的一切值。

Answer 2

天 我不学高数啊 你问我点别的数学吧