Question

已知：点P是正方形ABCD内一点，连PA、PB、PC。 （1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P’CB的位置（如图1）

已知：点P是正方形ABCD内一点，连PA、PB、PC。
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P’CB的位置（如图1）。
①设AB长为a，PB长为b（b<a），求△PAB旋转到△P’CB的过程中边PA所扫过的区域（图中的阴影部分）面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长。

Answer 1

解：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'AB，
∴S△PAB=S△P'AB，
S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′= π/4*（a2-b2）；
（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，
∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；
又∵∠BP′C=∠BPA=135°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．
PC²= P′P²+P′C²=36．PC=6

Answer 2

解：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'AB，
∴S△PAB=S△P'AB，
S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；
（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，
∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；
又∵∠BP′C=∠BPA=135°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．
PC=6．