Question

求一道奥数题

将三个相同的红球和五个相同的绿球分给三人(允许有人没分到球)，求共有几种分法？

要有详解
O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

分两步完成，第一步分红球，第二步分绿球。
一、分红球：
先考虑不同的组合，再考虑每种组合的排列数。
组合 排列数
0、0、3 3
0、1、2 6
1、1、1 1
3+6+1=10
红球共有10种分法
二、分绿球：
先考虑不同的组合，再考虑每种组合的排列数。
组合 排列数
0、0、5 3
0、1、4 6
0、2、3 6
1、1、3 3
1、2、2 3
3+6+6+3+3=21
绿球共有21种分法
三、根据乘法原理
共有：10×21=210种分法

Answer 2

插板法
先分红球，增加3个虚拟球，相当于把6个球分给3个人，，每个人至少有一个，C(5，2)
再分绿球，C(7，2)
C(5，2)xC(7，2)=5x4/2x7x6/2=210种

Answer 3

排列组合3×2×1+5×4×3=66种

追问

允许有人没有拿到也要分情况讨论的吧

追答

三个人可以先拿红球 有 6种可能
再拿绿球 60种可能 包括有人没分到球

Answer 4

210

Answer 5

一个正整数约数（包括1和本身）的个数等于将它分解质因数后，每个质因数次数加一后的乘积。
由于最后面向东的同学的转动次数为 4k + 3 (k = 0 , 1, 2, ...)，均为奇数，故其编号分解质因数后每个质因数的次数均为偶数（只有这样，加一后都是奇数，其乘积才会是奇数），因此编号是完全平方数。200以内的完全平方数只有14个（1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196），可以逐个考察，得出答案。
例如 144 = 2 ^ 4 x 3 ^ 2，其约数个数为 (4 + 1)(2 + 1) = 15 个，15 = 4 x 3 + 3 (4k + 3 的形式)，故满足要求。
逐个考察后，发现4，9，25，49，64，121，144，169的 约数个数 可写成 4k + 3 的形式。
即编号为上述8个数的8位同学将转 4k + 3 次，最终面向东方。故答案为 8 。
注：关于符号 “ ^ ”，上述文字中，2 ^ 4 表示 2 的 4 次方。
对第一句话的补充说明：正整数 1 没有质因数，可理解为质因数的次数为 0 。