如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,4)点N为OA上一点,OM⊥BN于M,且∠ONB=45°+∠MON.
若点P为第四象限内一动点,且∠APO=135°,问AP与BP是否存在某种确定的位置关系?请证明你的结论。...
若点P为第四象限内一动点,且∠APO=135°,问AP与BP是否存在某种确定的位置关系?请证明你的结论。
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1.证明:OA=OB=4,OA垂直OB,则∠OAB=∠OBA=45°,∠ONB=∠OAB+∠ABN=45°+∠ABN.
又OM垂直BN,则∠OBN=∠MON(均为角BOM的余角).
故∠ONB=45°+∠MON=45°+∠OBN.
∴∠OBN=∠ABN,即BN平分∠OBA.
2.(OM+MN)/BN=1/2.
证明:BN平分∠OBA,则∠OBN=∠ABN=22.5°.
取BN的中点P,连接PO,则PO=BN/2=PB,∠POB=∠OBN=22.5°,∠OPM=45°.
又OM垂直BN,故PM=OM.得:(OM+MN)/BN=(PM+MN)/BN=PN/BN=1/2.
又OM垂直BN,则∠OBN=∠MON(均为角BOM的余角).
故∠ONB=45°+∠MON=45°+∠OBN.
∴∠OBN=∠ABN,即BN平分∠OBA.
2.(OM+MN)/BN=1/2.
证明:BN平分∠OBA,则∠OBN=∠ABN=22.5°.
取BN的中点P,连接PO,则PO=BN/2=PB,∠POB=∠OBN=22.5°,∠OPM=45°.
又OM垂直BN,故PM=OM.得:(OM+MN)/BN=(PM+MN)/BN=PN/BN=1/2.
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如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,4)点N为OA上一点,OM⊥BN于M,
且∠ONB=45°+∠MON.
(1)求证:BN平分∠OBA;
(2)求(OM+MN)/BN的值;
(3)若点P为第四象限内移动点,且∠APO=135°,问AP与BP是否存在某种确定的位置关系?请证明你的结论.
1)∵ OM⊥BN
∴ ∠MON+∠ONB=90°,
∵∠ONB=45°+∠MON
∴∠MON+45°+∠MON=90°
∴∠MON=22.5°
∵ OA⊥OB
∴ ∠BOM=67.5°
∵ OM⊥BN
∴ ∠OBM=22.5°
∵ OA=OB=4
∴ ∠ABO=45°
∴ ∠ABN=22.5°
∴ ∠ABN=∠OBN
∴ BN平分∠ABO⑵ 取BN中点Q,连接OQ
∵ Q是BN中点
∴ OQ=BQ
∴ ∠BOQ=22.5°
∵ ∠BOM=67.5°
∴ ∠QOM=45°
∴ OM=QM
∴ OM+MN=QM+MN=QN=BN
⑶ ∵∠APO=135°,∠ABO=45°
∴ B、O、P、A四点共圆
∵ ∠AOB=90°
∴ AB是圆的直径
∴ ∠APB=90°
∴ AP⊥BP
且∠ONB=45°+∠MON.
(1)求证:BN平分∠OBA;
(2)求(OM+MN)/BN的值;
(3)若点P为第四象限内移动点,且∠APO=135°,问AP与BP是否存在某种确定的位置关系?请证明你的结论.
1)∵ OM⊥BN
∴ ∠MON+∠ONB=90°,
∵∠ONB=45°+∠MON
∴∠MON+45°+∠MON=90°
∴∠MON=22.5°
∵ OA⊥OB
∴ ∠BOM=67.5°
∵ OM⊥BN
∴ ∠OBM=22.5°
∵ OA=OB=4
∴ ∠ABO=45°
∴ ∠ABN=22.5°
∴ ∠ABN=∠OBN
∴ BN平分∠ABO⑵ 取BN中点Q,连接OQ
∵ Q是BN中点
∴ OQ=BQ
∴ ∠BOQ=22.5°
∵ ∠BOM=67.5°
∴ ∠QOM=45°
∴ OM=QM
∴ OM+MN=QM+MN=QN=BN
⑶ ∵∠APO=135°,∠ABO=45°
∴ B、O、P、A四点共圆
∵ ∠AOB=90°
∴ AB是圆的直径
∴ ∠APB=90°
∴ AP⊥BP
参考资料: zhan~
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