Question

有关复变函数可去奇点，本性奇点的问题

当z趋于无穷时，(1-cosz)/z⁴=0？为可去奇点，为什么？当z趋于无穷时不是cosz没有确定值吗？那么它不是应该为本性奇点吗？

Answer 1

令z=1/t，则原函数为（1-cos(1/t))t⁴，因此（1-cos(1/t))t⁴趋于0当t趋于零。也就是说t=0是函数（1-cos(1/t))t⁴的可去奇点。而对于z=无穷远点 孤立奇点类别的定义是针对 t=0 (t=1/z)作为函数孤立奇点的类别而定义的，也就是说如果经过代换后t=0是可去的，无穷远点就是可去的，t=0是极点，无穷远点就是极点，t=0是本性的，则无穷远点就是本性的。本题中t=0是可去的，则z=无穷远点就是可去的。

追问

你这个转换之后当t趋于0那cos1/t不是没有确定值吗？因为我记得当z趋于无穷时，e的z次方，cosz,sinz都是没有确定值，无穷对于他们来说是本性奇点，这里只是下面多了个z⁴会有什么影响？

追答

你说的是对的，我忽视掉这一点了，原函数的展开式有无穷多个正项，所以无穷大应该也还是本性的奇点。

Answer 2

同学，都错。你把cos写成洛朗级数的形式，然后化简，可以看出此级数只有1个负幂项，且最高负幂项为-2，则，z=0就是二级奇点。