Question

线性方程组

已知b1，b2是非齐次线性方程组AX=B的两个不同的解，a1，a2是其导出组的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组AX=B,的通解是：

Answer 1

根据线性方程组解的结构, 非齐次线性方程组的通解为特解加导出组的基础解系的线性组合
所以 AX=B 的通解为
b1 + k1a1+k2a2
或
b2 + k1a1+k2a2

追问

不是，答案是k1a1+k2（a1-a2）+（b1+b2）/2
我不知道怎么来的，麻烦在帮忙想想，谢谢

追答

这个答案可以写出无数个!

(1) 首先, 说说特解
cb1+(1-c)b2, c取任意常数都是 AX=B 的解
当 c=1/2 时, 就是你给出的 (b1+b2)/2

再说基础解系.
已知a1，a2是其导出组的基础解系
那么与 a1,a2 等价的任意两个向量都是基础解系.
比如: a1, a1+a2 , a1, a1-a2 都是基础解系.

这个题目应该是个选择题

Answer 2

解: (A1,A2,A3,A4,B) =
1 1 1 1 1
0 1 -1 2 1
2 3 a 2 4 b 3
3 5 1 a 8 5

r3-2r1,r4-3r1
1 1 1 1 1
0 1 -1 2 1
0 1 a 2 b 1
0 2 -2 a 5 2

r1-r2,r3-r2,r4-2r2
1 0 2 -1 0
0 1 -1 2 1
0 0 a 1 0 b
0 0 0 a 1 0

所以, 当a≠-1时, B可唯一地表示成A1，A2，A3，A4的线性组合
此时, (A1,A2,A3,A4,B) --

追问

不是，答案是k1a1+k2（a1-a2）+（b1+b2）/2
我不知道怎么来的，麻烦在帮忙想想，谢谢

Answer 3

这是线性方程组的解的结构的内容
设AX=b是非齐次线性方程组, 即 b是非零列向量.
其导出组是指齐次线性方程组 AX=0.
若 ξ 是AX=b的解(称为特解), η1,η2,...,ηs 是AX=0的基础解系 ( s = n-r(A) )
则 AX=b 的通解为: ξ+c1η1+c2η2+...+csηs

我只知道这些了