Question

如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为边BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边向左侧作等边△ADE

（1）求证：△ACD全等△CBF。
（2）连接CF、EF，猜想四边形CDEF是什么特殊四边形。
（3）点F在线段AB上何处时，线段ED⊥AB（直接写出结论）

Answer 1

解：（1）四边形CDEF为平行四边形，理由如下
设AB与ED交于G
∵△ABC为正三角形
∴AC=BC，∠B=∠ACB=60°
又CD=BF
∴AF=BD
∴△ABD≌△AFC
∴AD=CF，∠BAD=∠ACF
又△ADE为正三角形
∴ED=AD，∠ADE=60°
∴ED=CF，∠ADE=∠BAC
∵∠BFC=∠BAC+∠ACF
∠EGF=∠ADE+∠BAD
∴∠BGF=∠EGF
∴ED‖CF
∴四边形CDEF为平行四边形

（2）∵∠DEF=30°
∴∠BCF=∠DEF=30°
∵∠B=30°
∴∠BFC=90°
∴BF=1/2BC=CD
∴D为中点
∴当点D为BC中点时，∠DEF=30°

Answer 2

【不能无图，若等边三角形ADE作在远离B一侧，命题就不成立了。】
证明：
1.已知等边三角形ABC，
有AC=CB,∠ACD=∠CBF=∠ABC=∠BAC=60度，
又CD=BF，
∴△ADC≌△CFB,【SAS】
即三角形ADC全等三角形CFB。

2.连接BE.
由上面证明有：
∠CDA=∠BFC,∠CAD=∠BCF,
等边三角形ADE中，
∠ADE=∠AED=∠DAE=60度，AE=DE=AD;
则∠BDE=180度-∠ADE-∠CDA
=120度-∠CDA
=120度-∠BFC，

又三角形CFB中，
∠BCF=180度-∠ABC-∠BFC
=120度-∠BFC，
∴∠BDE=∠BCF;
∠FAE=∠DAE-∠BAD
=∠BAC-∠BAD
=∠CAD
=∠BCF,
∴∠BDE=∠FAE;
又DE=AE,BD=BC-CD=AB-BF=FA,
∴△BDE≌△FAE,【SAS】
∴∠BED=∠FEA,BE=FE,
∴∠BEF=∠BED ∠DEF=∠FEA ∠DEF=∠AED=60度;
则△BEF为等边三角形，EF=CD,
∴∠EFB=60度,
∴∠EFB=∠ABC,
∴EF//CD,
又EF=CD.
得到：四边形EFCD是平行四边形。

Answer 3

证明：
1.已知等边三角形ABC，
有AC=CB,∠ACD=∠CBF=∠ABC=∠BAC=60度，
又CD=BF，
∴△ADC≌△CFB,【SAS】