Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC和BA的中点，F是DE延长线上的一点，并且EF=2，ED=1.

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请说明理由
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

Answer 1

E是RT⊿ABC斜边中点
∴EA=EC=EB 又EC=FA
∴四条线段都相等
∴∠F=∠AEF,∠EAC=∠ECA
∵AC‖DF ∴∠AEF=∠EAC ∴∠F=∠ECA
∵AC‖EF ∴∠CAF=180°-∠F=180°-∠ECA=∠CEF
∴ACEF是平行四边形

Answer 2

第一个问题：
∵D、E分别是BC、AB的中点，　∴由三角形中位线定理，有：ED＝AC/2＝1，　∴AC＝2。
由AC＝2、EF＝2，得：AC＝FE。　再由三角形中位线定理，有：ED∥AC，∴AC∥FE。
由AC＝FE、AC∥FE，得：ACEF是平行四边形。

第二个问题：
当∠B＝30°时，ACEF是菱形。　证明如下：
∵∠ACB＝90°、∠B＝30°，∴∠A＝60°。
∵E是Rt△ABC中斜边的中点，∴CE＝AB/2＝AE。
由CE＝AE、∠A＝60°，得：△ACE是等边三角形，∴AC＝CE，∴平行四边形ACEF是菱形。

第三个问题：
ACEF不可能是正方形。　证明如下：
∵E是AB的中点，∴∠ACE＜∠ACB＝90°，　∴ACEF不可能是正方形。