Question

设n阶矩阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵，证明r(A)+r(A-E)=n

证明: 由A^2=A得 A(A-E)=0
所以 r(A)+r(A-E) <=n.
又 n = r(E) = r (A - (A-E)) <= r(A)+r(A-E).
所以 r(A)+r(A-E) = n.

这里的r (A - (A-E)) <= r(A)+r(A-E). 是怎么成立的，是不是r(A-B)<=r（A）+r（B)

Answer 1

这里的r (A - (A-E)) <= r(A)+r(A-E). 是怎么成立的，是不是r(A-B)<=r（A）+r（B)
回答：是的。
依据，见同济5版《线性代数》P70．⑥，并且成立r(-B)=r（B)。

Answer 2

呵呵 刚刚回复了你的评论

这样推导:
r(A-B) = r(A+(-B))<= r(A)+r(-B) = r(A)+r(B),

注意 r(-A)=r(A).

Answer 3

是r(A+B)<=r（A）+r（B) 而r(A + -B)<=r（A）+r（B) 是由r(A-B)<=r（A）+r（-B)
r（-B) = r（B) 可不可以这样理解

Answer 4

利用：
rank(A+B) <=rankA+rankB。