Question

有关离散数学集合的 请问那个空集是否既属于自身 ，也包含于自身

Answer 1

空集的元素个数（即它的势）为零；特别的，空集是有限的： 　　|{}| = 0 　　集合论中，两个集合相等，若它们有相同的元素；那么仅可能有一个集合是没有元素的，即空集是唯一的。 　　考虑到空集是实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。另外，空集是紧致集合，因为所有的有限集合是紧致的。 　　空集的闭包是空集。

若 A 为集合，则恰好存在从 {} 到 A 的函数 f，即空函数。结果，空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象。 　　空集只能通过一种方式转变为拓扑空间，即通过定义空集为开集；这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。 　　空集是任何非空集合的真子集。.Φ 只有一个子集，没有真子集。｛Φ ｝有两个子集，一个是Φ 一个是它本身 　　定义： 　　不含任何元素的集合成为空集。 　　A={1,2,3,4,5} B={1,3,5} c={5,4,3,2,1} 　　例如，“A是B的子集”，意思是A的任何一个元素都是B的元素，即由任一 ，可以推出 ，但不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的． 　　空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的真子集解释成A是由B的部分元素组成的集合也是不确切的．正确的说法应该把真子集的两个特征：“A是B的子集”和“B中至少有一个元素不属于A”都指出． 　　“空集是任何集合的子集”这句话是正确的，但是把空集说成是任何集合的真子集就不确切．因为空集是它本身的子集．正确的说法是“空集是任何非空集合的真子集”．总之，对于概念的解释，语言表达必须确切． 　　再如，“ AB是A在全集B中的补集”，不能把它简单地说成 AB是A的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个例如，属于符号“ ”、不属于符号“ ”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含关系“ ”“ ”、包含于（被包含）符号“ ”或“ ”，它们只能用在两个集合符号之间．对此，必须引起学生充分注意，不能用错，不要出现把 表示成 ，或 之类的错误． 　　又如， 是含有一个元素的集合， 是不含任何元素的集合，因此，有 ，不能写成 ， ． 　　关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意． 　　关于补集，新的国家标准规定，集合A中子集B的补集或余集记为C A B ，如果行文中集合A已经很明确，则常常可以省去符号A，而记为C B． 　　集合中的补集，简单的说集合A的补集是没有意义的．

Answer 2

Φ包含于Φ，Φ属于{Φ} ，而{Φ}非空集。
证明：假设Φ属于Φ，由于Φ属于{Φ}，故由交集的定义知Φ∧{Φ} 不等于空集。这与Φ和任何集合的交集都为空矛盾。原假设不成立。故Φ不属于Φ。

Answer 3

空集的元素个数（即它的势）为零；特别的，空集是有限的： 　　|{}| = 0 　　集合论中，两个集合相等，若它们有相同的元素；那么仅可能有一个集合是没有元素的，即空集是唯一的。 　　考虑到空集是实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。另外，空集是紧致集合，因为所有的有限集合是紧致的。 　　空集的闭包是空集。