Question

已知函数f(x)=mx+1/2x+n(m,n是常数)且f(1)=2,f(2)=11/4 求x∈[1,∞)时,判断f(x)的单调性并证明

已知函数f(x)=mx+1/2x+n(m,n是常数)且f(1)=2,f(2)=11/4
求x∈[1,∞)时,判断f(x)的单调性并证明
需要过程，谢谢

Answer 1

根据已知条件得：{m+1/2+n=2, (两个式子联立求解)
2m+1+n=11/4,
解得 m=1/4,n=5/4,
所以 f(x)=3/4x+5/4
当x∈[1,∞)时，f(x)单调递增
证明：任取 X1>X2>1, 且X1-X2>0
f(X1)-f(X2)=3/4x1+5/4 -（3/4x2+5/4 ）
=3/4(X1-X2)
因为 X1-X2>0
所以 f(X1)-f(X2)>0 即 f(X1)>f(X2)
所以，当x∈[1,∞)时，f(x)单调递增

Answer 2

f(1)=m+n+1/2=2
f(2)=2m+n+1=11/4
求得：m=1/4 n=5/4
f(x)=3/4x+5/4
设x1，x2，且x1大于x2大于1
f（x1）-f（x2）=3/4（x1-x2）
因为x1大于x2，x1-x2大于0
所以是单调提增区间

Answer 3

f（1）=m+1/2+n=2 f(2)=2m+1+n=11/4 ——m=1 n=1/2
f（x)=x+1/2x+1/2
因为x∈[1,∞)，所以f(x)大于或等于2，所以f(x)大于或等于0，所以f(x)在x∈[1,∞)为单调增函数

Answer 4

根据已知条件得：m+1/2+n=2, 2m+1+n=11/4,
所以，m=1/4,n=5/4,
f(x)=3/4x+5/4
当x∈[1,∞)时，f(x)单调递增
证明：令X1>X2>1, X1-X2>0
f(X1)-f(X2)=3/4(X1-X2)
因为X1-X2>0
所以 f(X1)-f(X2)>0 即 f(X1)>f(X2)
所以，当x∈[1,∞)时，f(x)单调递增

Answer 5

证明：
任取x1,x2∈（-n/2，正无穷大）且令x1