Question

已知函数f﹙x﹚=（2a+1／a)-(1／a²x),常数a＞0

1.设mn＞0，且m＜n，证明f（x）在[m，n]上单调递增
2.设0＜m＜n且f﹙x﹚的定义域和值域都是[m,n]，求n-m的最大值

Answer 1

1、依题意得,定义域为在(-∞,0)(0,+∞)，且mn＞0，可知m、n都属于(-∞,0)(0,+∞)
有，f﹙m﹚-f﹙n﹚=（2a+1／a)-(1／a²m)-[（2a+1／a)-(1／a²n)]
=1／a²n-1／a²m=1／a²(1/n-1/m)=1／a²*(m-n)(/nm)
因为， mn＞0，且m＜n
所以有，1／a²(m-n)(/nm)<0
即，f﹙m﹚-f﹙n﹚<0
根据单调性定义可得f﹙x﹚=（2a+1／a)-(1／a²x),在定义域上为单调递增

2、由上题可知，当0＜m＜n时，f﹙x﹚的定义域上为增函数
又因为，f﹙x﹚的值域[m,n]
所以有f(m)=m, f(n)=n
n-m=f﹙n﹚-f﹙m﹚=（2a+1／a)-(1／a²n)-[（2a+1／a)-(1／a²m)]
=1／a²(1/m-1/n)=1／a²(n-m)(/nm)
=(n-m)／(a²nm)
即有，1=1/a²nm
所以有，mn=1/a² , m=1/a²n
即，n-m=n-1/a²n
知道函数f(x)=x-1/a²x 的值域为(-∞,0)(0,+∞)，是不存在最大值的，所以n-m没有最大值

Answer 2

1.y=-1/x在(-∞,0)(0,+∞)单调递增
其他都是常数
所以在m<n<0.0<m<n两种情况下f(x)单调递增
2.f(m)=m
f(n)=n
我算了一下，应该没有最大值吧，n可以取无穷大
m取无穷小

Answer 3

最大值为【4根号3】/3

Answer 4

（1）所给函数f(x)=((2a 1)/a)-(1/(xa^2))=2 1/a-1/a^2*1/x，是b-c/x（b、c