Question

求证1^3+2^3+3^3+……+n^3=(1+2+3+……n)^2写详细点啊

Answer 1

证明，方法一：
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1.
∴n^3=(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/2)n^2-n-1/4
∴左边=∑i^3=(1/4)[(n+1)^4-1]-(3/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n-(n+1)n/2
=(1/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-n)-(1/2)(n^2+n)
=(1/4)(n^4+2n^3+n^2)
=[(1/2)n(n+1)]^2
=(1+2+3+…+n)^2
[附注:这里用了另一个公式∑i^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
证明如下:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
∴n^2=(1/3)[(n+1)^3-n^3]-n-1/3
∴∑i^2=(1/3)[(n+1)^3-1]-(1/2)n(n+1)-n/3=......=(1/6)n(n+1)(2n+1)]

方法二：数学归纳法
当n=1时，左边1^3=1， 右边1^2=1
左边=右边
假设当n=k时等式成立
1^3+2^3+3^3+…k^3=（1+2+3+............+k)^2
则当n=k+1时
1^3+2^3+3^3+…k^3+(k+1)^3
=(1+2+3+............+k)^2+(k+1)^3 1+2+3....+k=k(k+1)/2 等差数列
=k^2(1+k)^2/4+(k+1)^3
=(1+k)^2(k^2/4+k+1)
=(1+k)^2(k^2+4k+4)/4
=(k+1)^2(k+2)^2/4
=[(k+1)(k+1+1)/2]^2
=(1+2+3......+k+k+1)^2 1+2+3+...k+k+1=(k+1)(k+1+1)/2 也是等差数列
所以当n=k+1等式也成立
所以，1^3+2^3+3^3+........+n^3=（1+2+3+........+n)^2