在△ABC中AD是∠A的平分线,AB+BD=AC,求证:∠B=2∠C
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证明：
在AC上截取AE=AB，连接DE
∵AB=AE
∠BAD=∠EAD【AD平分∠BAC】
AD=AD
∴⊿ABD≌⊿AED（SAS）
∴BD=DE，∠B=∠AED
∵AB+BD=AC，AE+EC=AC
【 AB=AE，BD=DE】
∴DE=EC
∴∠EDC=∠C
∵∠AED=∠EDC+∠C=2∠C
∴∠B=2∠C
在AC上截取AE=AB，连接DE
∵AB=AE
∠BAD=∠EAD【AD平分∠BAC】
AD=AD
∴⊿ABD≌⊿AED（SAS）
∴BD=DE，∠B=∠AED
∵AB+BD=AC，AE+EC=AC
【 AB=AE，BD=DE】
∴DE=EC
∴∠EDC=∠C
∵∠AED=∠EDC+∠C=2∠C
∴∠B=2∠C
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在AC上去E点使得AE＝AB，因为AB+BD=AC，AC＝AE+EC，所以AB+BD＝AE+EC,又AB=AE
所以BD=EC。又因为AB=AE，AD=AD,∠BAD=∠DAE,所以△ABD与△ADE全等。所以DE＝BD，
∠DEA=∠B.所以DE=BD=EC.所以∠EDC＝∠C。又∠DEA=∠C+∠EDC＝2∠C＝∠B.所以:∠B=2∠C
所以BD=EC。又因为AB=AE，AD=AD,∠BAD=∠DAE,所以△ABD与△ADE全等。所以DE＝BD，
∠DEA=∠B.所以DE=BD=EC.所以∠EDC＝∠C。又∠DEA=∠C+∠EDC＝2∠C＝∠B.所以:∠B=2∠C
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从AB沿长取点E使BE=BD 因为AD为<BAC的平分线所以<BAD=<DAC AC=AB+BD所以AC=AB+BE=AE又AD为公共边 所以三角形ADC全等于三角形ADE所以<AED=<ACD又BD=BE所以<BED=<BDE因为<ABC=<BED+<BDE即<ABC=2<C
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