Question

在Rt三角形ABC中,角A=90度,AB=AC=1,D是BC的中点,E是AB边上的动点（点E不与A,B重合），DF垂直与DE交AC于点

在Rt三角形ABC中,角A=90度,AB=AC=1,D是BC的中点,E是AB边上的动点（点E不与A,B重合），DF垂直与DE交AC于点F。设BE=x,CF=y.
（1）写出y与x的函数关系式，并写出定义域。
（2）当x为何值时，EF平行与BC？

为什么

Answer 1

1）连接AD，EF
因为，ED垂直于DF，AB垂直于AC，所以
A,E,D,F四点共圆
因为AD是等腰直角三角形ABC斜边上的中线，所以AD是顶角BAC的角平分线
那么，<DAC=45º
因此，<DEF=<DAC=45º*（A,E,D,F四点共圆，同弦所对的圆周角相等）
从而三角形DEF是等腰直角三角形
DE=DF
在三角形BED和三角形AFD中，
<B=45º=<CAC
<BED=<AFD(A,E.D.F四点共圆，圆内接四边形的外角等于内对角）
DE=DF
所以，三角形BED和三肢搜角形AFD全等
AF=BE=x
而AF+CF=AC=1
所以，x+y=1
y与x 的函数关系式是 y=1-x
这个函数的定义域是 0<x<烂饥喊1
2)当x=1/2时，y=1/2 此时 E，F分别是AB,AC的中点，EF是AB,AC边上的中位线
所饥野以，EF//BC

Answer 2

解：
∵ △ABC是直角是直角三角形，且AB=AC
∴ 该三角形是等腰直角三角形
则 ∠B=∠C=45°
∵ D是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点
∴AD⊥BC且平分∠A
即 ∠悉兄BAD=45°=∠B，BD=AD
∵ ∠ADF+∠ADE=90°，∠睁腔袭BDE+∠ADE=90°
∴ ∠ADF=∠BDE
∴△ADF≌△BDE
则：BE=AF=AC-FC
∴ x=1-y 0< x <1
(2)
当 x=1/2时，EF∥BC
此时，E为AB的中点，F为AC的中点
EF是圆伏中位线
所以 EF平行于BC，且等于BC的一半。

Answer 3

(1)x＋y=(4-根号2)/2
(2)x=（根号2）/2