Question

不定积分∫1/[（1-x²）的3/2 ]dx、∫x^5（2-5x^3）的2/3 dx，过程越详细越好！！！

Answer 1

1、
∫ dx/(1-x²)^(3/2)，x=sinz，dx=cosz dz，z∈[-π/2，π/2]
= ∫ cosz/(cos²z)^(3/2) dz
= ∫ cosz/cos²z dz
= ∫ sec²z dz
= tanz + C
= x/√(1-x²) + C

2、
∫ x^5*(2-5x³)^(2/3) dx，u=2-5x³，du=-15x² dx
= (1/75)∫ (u-2)*u^(2/3) du
= (1/75)∫ (u^5/3 - 2u^2/3) du
= (1/75)(3/8)u^(8/3) - (2/75)(3/5)u^(5/3) + C
= (1/200)(2-5x³)^(5/3) - (2/125)(2-5x³)^(5/3) + C
= (-1/1000)(25x³+6)(2-5x³)^(5/3) + C

追问

第一题是设Z=1-x² 吗？z是什么？第二步怎么直接从= ∫ cosz/(cos²z)^(3/2) dz变成 ∫ cosz/cos²z dz
3/2去哪啦？= tanz + C
= x/√(1-x²) + C 最后结果是怎么带进去的？ 谢谢

追答

第一题用了第二类换元积分法，用到三角函数代换法
设x=sin(z)，即z=arcsin(x)，arcsin(x)是反三角正弦函数，z是角度

cosz/(cos^2z)^(3/2)
= cosz/[(cosz)^2]^(3/2)
= cosz/(cosz)^(3/2*2)
= cosz/(cosz)^3，之前那个cosz/cos^2z打错了，分母应该是3次方
= 1/cos^2x
= sec^2x
答案转换那需要直角三角形辅助
之前设了x = sinz，sinz = x/1 = 对边/斜边，所以邻边^2= 斜边^2-对边^2
即邻边^2 = 1-x^2
邻边 = √(1-x^2)
所以tanz = 对边/邻边 = x/√(1-x^2)