Question

四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2,E为PC中点

（1）求证：DE⊥平面PCB
（2）求点C到平面DEB的距离
（3）求二面角E—BD—P的大小

Answer 1

如图，取坐标系：D﹙0,0,0﹚,A﹙2,0,0﹚,C﹙0,2,0﹚,P﹙0,0,2﹚

则B﹙2,2,0﹚ E﹙0,1,1﹚

⑴   DE＝﹛0,1,1﹜ PCB的法向量n1＝CB×PC＝﹛2,0,0﹜×﹛0,2,-2﹜＝﹛0,4,4﹜∥DE

∴DE⊥PCB

⑵  易知 平面EDB方程：x-y+x＝0,  法式﹙x-y+z﹚/√3＝0

∴C﹙0,2,0﹚到平面EDB距离d＝|﹙0-2+0﹚/√3|＝2/√3＝2√3/3≈1.155

⑶ DBE法向量n2＝﹛1,-1,1﹜    DBP法向量n3＝﹛1--1,0﹜

cos﹤n2,n3﹥＝n2•n3/|n2||n3|＝2/√6    ﹤n2,n3﹥≈35º15′52″

二面角E—BD—P的大小≈35º15′52″

Answer 2

（1）证明：底面ABCD为正方形，

∴AC⊥BD

又∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC

∴AC⊥平面PBD

又由AC⊂平面PAC

∴平面PAC⊥平面PBD；

（2）分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

∵PD=AD=1

∴D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）

又∵点E为PB的中点，∴E（ 12， 12， 12）

∴ AE→=（- 12， 12， 12）

又 PC→=（0，1，-1），

∴ AE→• PC→=（- 12， 12， 12）•（0，1，-1）=0，

∴PC⊥AE，又PC⊥AD

∴PC⊥平面ADE

故 PC→=（0，1，-1），即为平面ADE的一个法向量

又由（1）可知 AC→=（-1，1，0）为平面BDE的法向量

故cosθ= PC→•AC→|PC→|•|AC→|= 12