Question

已知函数f(x)=4^x+a.2^x+a+1 ,（1）若a=-1,求f(x)=0的解的情况（2）若f(x)=0在R上有实数解，求a的取值范围

已知函数f(x)=4^x+a.2^x+a+1 ，（1）若a=-1,求f(x)=0的解的情况。（2）若f(x)=0在R上有实数解，求a的取值范围。

主要史第二小题，在线等，谢谢

Answer 1

（1）若a=-1时，f(x)=4^x-2^x 令f(x)=0 则4^x-2^x=0 解得x=0
(2)令t=2^x 则f(x)=t^2+at+a+1 t>0 令f(x)=0 则t^2+at+a+1=0在R上有实数解
所以两根之和-a>0 即a<0;两根之积a+1>0 即a>-1
又△=a^2-4a-4>=0 解得a<=2-2√2或a>=2+2√2
综上所述 -1<a<=2-2√2

Answer 2

解：1.当a=-1时，f(x)=4^x+a.2^x+a+1 =4^x-2^x=0解得x=0
2.f(x)=4^x+a.2^x+a+1 =(2^x)^2+a*2^x+a+1=(2^x+a/2)^2-a^2/4+a+1=0要使有实数解，那么2^x=t＞0那么
方程t^2+a*t+a+1=0至少有一个实数根，设t1,t2为方程的两根则有t1+t2=-a＞0，t1t2=a+1＞0或t1t2=a+1＞0，且△a^2-4(a+1)≥0，得到a≤2-2根号2

Answer 3

解：
（1）a=-1，则f(x)=4^x-2^x=2^x(2^x-1)=0，解得x=0。
（2）令2^x=t，则f(x)=0，即为t²+at+a+1=0 ，要使f(x)=0在R上有实数解，必须方程t²+at+a+1=0有解且至少有一个整数解，解得 t1,2=[-a±√(a^2-4a-4)]/2。显然只需[-a+√(a^2-4a-4)]/2>0，即a<-1；另须Δ=a^2-4a-4>=0，即a>=2+√2或a<=2-√2。
于是可知a的取值范围应为a<-1。

Answer 4

f(x)=4^x+a.2^x+a+1=0
令2^x=t，则t>0,f(x)=0为：t²+at+a+1=0 t=(-a±√a^2-4a-4)/2>0,-a+√a^2-4a-4>0
a^2-4a-4≥0（1）
√a^2-4a-4>a（2）
由（1）得a≥2+2√2或a≦2-2√2
由（2）得a>0或a<0
解得a≥2+2√2或a≦2-2√2

Answer 5

f(x)=4^x+a.2^x+a+1
令2^x=t，则f(x)=0，即为：t²+at+1=0 t=2^x>0
判别式=a²-4>=0 因为t=2^x>0
a>=2不成立 a<=-2
所以a只有 a<=-2