Question

变上限积分换元法的上下限问题

例题是这样写的：
∫f(x-t)dt，上下限为0下x上（无法打在积分符号里），令u = x-t，则原式=∫f(u)(-du) [x下0上]=∫f(u)du [0下x上]
但是我做的时候觉得当原式为∫f(u)(-du)时应为0下x上，具体步骤为：
原式=∫f(u)d(x-u) [0下x上]=∫f(u)d(-u) [-x下0上]=∫f(u)(-du) [0下x上]=-∫f(u)du [0下x上]
请问我错在哪儿了？最好附带把例题解释一下，详细到步骤的那种。

Answer 1

∫(0->x) f(x-t) dt
令u=x-t，du= -dt，注意dt前面有负号
当t=0，u=x；当t=x，u=0，这步你应该没做好吧？x是下限，0是上限噢，别忘了上下限会改变的
原式= ∫(x->0) f(u) -du
= ∫(0->x) f(u) du，有负号，上下限可调换
= ∫(0->x) f(t) dt

Answer 2

你的这道题目没有转换上下限，第二步就是把1/x放到微分符号中去，就是凑微分，然后常数的微分运算是零，所以可以加一个1，这就推出了第二步。这个里面虽然意指将lnx+1当做一个整体来看，但是并没有做到真正的变量代换，就是说没有把lnx+1换成另一个变量比如y什么的，所以积分上下限仍然是x的取值，就没有变，就是这样。积分题做多了自然就有感觉了。一般凑微分的题比较多