Question

点P是双曲线x^2/4-y^2/12=1，F1，F2分别为左右焦点，求证：△PF1F2的内切圆与x轴切于定点。

Answer 1

解：
设圆与x轴的切点为M
PF1与圆的切点为N1,PF2与圆的切点为N2,
则 PN1=PN2
F1N1=F1M,F2N2=F2M
（1）若P在右支上
2a=|PF1|-|PF2|=(|PN1|+|F1N1|)-(|PN2|+|F2N2|)
=|F1N1|-|F2N2|
=|MF1|-|MF2|
所以 M也在双曲线上的右支上，又M在x轴上
所以 M 为定点(a,0)，即 （2,0）
（2）若P在作支上
-2a=|PF1|-|PF2|=(|PN1|+|F1N1|)-(|PN2|+|F2N2|)
=|F1N1|-|F2N2|
=|MF1|-|MF2|
所以 M也在双曲线上的左支上，又M在x轴上
所以 M 为定点(-a,0)，即 （-2,0）

Answer 2

c=4 m-n=4
m-n/sinβ-sinα=2c/(α β)
[根据正玄定理 合比性质】
sin（α β）=2（sinβ-sinα）
再根据二倍角公式和和差化积可证