Question

已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证△ABF相似于△CAF

Answer 1

首先设AC与EF交于N,连接DN并延长交AF于M ,下面开始证明:
EF垂直平分AD 所以FAD为等腰三角形 EF平分∠AFD AF=DF FN=FN △ANF与△DNF全等 所以∠CAF=∠MDF
AE=ED EN=EN EF垂直于AD 所以AEN与DEN全等 所以∠DAC=∠ADM
AD平分∠BAC ∠BAD=∠DAC
∠ABC ∠BAD ∠BDA=180
∠ADM ∠BAD ∠MDF=18O
所以∠ABC=∠MDF=∠CAF
对应角相等的三角形相似

Answer 2

证明：
∵EF是AD的垂直平分线
∴AF=DF
∴∠FAE=∠FDE
∵∠FAE=∠2+∠FAC
∠FDE=∠1+∠B
∠1=∠2
∴∠FAC=∠B
又∵∠AFC=∠BFA
∴⊿ABF∽⊿CAF（AA‘）

Answer 3

eF为AD垂直平分线，可得到角ADE=角1+角ABD=角2+角CAF
角1=角2，得到角CAF=角ABD
根据两角相等，三角形相似，得到证明结果