Question

一道数列解答题

已知数列｛an｝的前几项和为Sn，并且满足Sn=2an-1（n属于N+）
(1)求证数列｛an｝是等比数列.
(2)数列｛bn｝满足b（n+1）= an+bn(a属于N+)，且b1=3若不等式log<2>(bn-2) < 3/16 n^2+t,存在n属于N+恒成立，求实数t的取值范围。
急啊！谢谢！

Answer 1

（1）Sn=2an-1 （n属于N+） ① 令n=1 得：a1=1 令n=2 得：a2=2
S(n-1)=2a(n-1)-1 (n≥2) ②
①-②得：an=2an-2a(n-1) （n≥2）
化简得：an=2a(n-1) （n≥2） 应验证前两项 满足 ∴an=2^(n-1)
所以 数列｛an｝是等比数列.
（2）b（n+1）= an+bn
b(n+1)-bn=an
bn-b(n-1)=a(n-1)
``````````````````````
`````````````````````
b2-b1=a1
累和相加：左边=b(n+1)-b1=右边=Sn=2^n-1 有b1=3
得b(n+1)=2^n+2
解得bn=2^(n-1)+2

不等式log<2>(bn-2) < 3/16 n^2+t 这不等式有点问题 楼主请确认一下
求出bn了 证明不等式应该不难了

追问

是以log 以2 为底的 bn -2 的对数<3/16n的平方+t 。就是这个式子，没错！

追答

2两边的是代表括号吧 不等式中尽量用圆括号 本来电脑显示就不怎么好理解！
log(2)(bn -2)<(3/16n)²+t bn=2^(n-1)+2
∴ log(2)(bn -2)=log(2)[2^(n-1)]=n-1
不等式化简为：n-1＜3/16n²+t
t＞n-1-3/16n² 恒成立
则只需求出n-1-3/16n²的最大值令为A 很显然 若t＞最大值A 那不等式就恒成立了
-3/16n²+n-1为二次代数式 开口向下 则对称轴带入最大
对称轴n=8/3 注意数列中n是自然数 故当n=3时(取最接近的自然数)最大
即A=-3/16×3² +3-1=5/16
∴t＞5/16时，不等式恒成立

上述是解题思路，实际解题的时候请楼主注意书写哦！
祝你学业有成！

Answer 2

(ab)平方=a*a*b平方