Question

已知函数f(x)=2x+3/3x,数列{an}满足a1=1,an+1=f(1/an),n属于N (1)求数列{an}通项公式，

(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+a2n-1a2n-a2na2n+1,求Tn

Answer 1

f(x)=(2x 3)/3x化简：=2/3 1/x
所以an 1=f(1/an)=2/3 an，为d=2/3的等差数列。
所以an=1 2(n-1)/3.
这是第一问。

第二问：
Tn=a1a2-a2a3 a3a4-··· （-1）n-1 ana(n 1)
=1*5/3-5/3*7/3 …… (-1)^(n-1)*(1 2n)/3*(3 2n)/3
=1/9*(3*5-5*7 …… (-1)^(n-1)*(1 2n)*(3 2n))

当n为偶数时，Tn

Answer 2

a(n+1)=(2/an+3)/3/an=(2+3an)/3=2/3+an
a(n+1)-an=2/3
等差数列
an=a1+2/3 *(n-1)=2n/3+1/3

a1a2=1*5/3=3/3*5/3=3*5/9
a2a3=5/3*7/3=5*7/9
a1a2-a2a3=4*5/9=4*(4+1)/9 (1)
a3a4=7/3*9/3=7*9/9
a4a5=9/3*11/3=9*11/9
a3a4-a4a5=4*9/9=4*(4*2+1)/9 (2)
...
a2n-1a2n-a2na2n+1=4*(4*n+1)/9 (n)
上述n个式子相加：
Tn=(4/9)(4+4*2+4*3+...+4*n+n)=(4/9)(4*n(n+1)/2+n)
=(4/9)(2n^2+3n)