Question

已知函数f(x)＝（2＾x／2＾x＋1）＋a是奇函数，求实数a的值，判断f(x)的单调性并证明

Answer 1

f（x）为奇函数，则f（x）+f（-x）=0，
2^x/（2^x+1）+a+2^-x/（2^-x+1）+a=0
化简2a+1=0，a=-1/2
于是f（x）=2^x/（2^x+1）-1/2
=-1/（2^x+1）+1/2，显然f（x）是增函数【复合函数的单调性】
证明：字数限制

Answer 2

f(x)=2^x/(2^x+1)+a
则f(-x)=2^(-x)/[2^(-x)+1]+a=1/(2^x+1)+a=-f(x)=-2^x/(2^x+1)-a
即得:a=-1/2
t=2^x>0
f(x)=t/(t+1)-1/2=(t+1-1)/(t+1)-1/2=1/2-1/(t+1)
f(t)对于t单调增，
因此f(x)在R上单调增